Question

6．己知正项等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂a₃a₄=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等比中项及a₂a₃a₄=64可知a₃=4，进而利用a₁+a₂=3计算可知$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{2}$，从而数列{a_n}是公比为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=4^n-1+2^n-1，分别利用等比数列的求和公式计算出数列{4^n-1}、{2^n-1}的前n项和，相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₂a₃a₄=64，
∴${{a}_{3}}^{3}$=64，a₃=4，
又∵a₁+a₂=3，
∴$\frac{4}{{q}^{2}}$+$\frac{4}{q}$=3，
解得：$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{q}$=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，
故其通项公式a_n=a₃•q^n-3=4•2^n-3=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=a_n（a_n+1）=2^n-1（2^n-1+1）=4^n-1+2^n-1，
∵数列{4^n-1}是首项为1、公比为4的等比数列，
∴其前n项和P_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
∵数列{2^n-1}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴其前n项和Q_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴T_n=P_n+Q_n
=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）+2ⁿ-1
=$\frac{1}{3}$•4ⁿ+2ⁿ-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查利用分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．