Question

11．已知$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a为常数）
（1）求$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$上，f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换求得函数关系式y=f（x）；
（2）根据正弦函数图象的性质来求单调增区间；
（3）结合正弦函数的值域来求a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a为常数），$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴y=f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+a=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a+1
=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1；
（2）当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z时，函数y=f（x）单调递增；
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴y_最大值=3+a=4，
则a=1．

点评 本题考查正弦函数图象，平面向量数量积的运算以及三角函数中的恒等变换应用，考查转化与运算能力，属于中档题．