Question

20．求函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+4）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x-4}{x+4}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$（p-x），p∈（4，6）单调递减区间，单调递增区间，值域．

Answer 1

分析 由对数函数的性质得出函数的定义域和整理后的表达式f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x-4）（p-x），由复合函数的单调性可确定函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数的值域．

解答 解：函数的定义域为4＜x＜p，
f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+4）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x-4}{x+4}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$（p-x）
=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x-4）（p-x），
∴当x∈（4，2+$\frac{p}{2}$），函数递减，
当x∈（2+$\frac{p}{2}$，p），函数递增，
最小值f（2+$\frac{p}{2}$）=2log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{p}{2}$-2），
故值域为[2log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{p}{2}$-2），+∞）．

点评 考查了对数函数的性质和复合函数的单调性，利用单调性求函数的最值．