Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且过点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的长轴在左右端点分别为A、B，P为直线：x=-2任一点，过P作椭圆C的切线l，切点为C，CD⊥AB．
①求证：PB平分线段CD；
②求△PBC面积的最大值，并求此时C点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且过点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）①求出B的坐标，即可证明PB平分线段CD；
②表示出△PBC面积，可得最大值，并求此时C点坐标．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且过点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}$=1，
∴c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）①证明：设C（x₁，y₁），则切线PC的方程为$\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y$=1，
令x=-2，可得y=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，即P（-2，$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∵B（2，0），∴直线PB的方程为y-0=-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）（x-2），
令x=x₁，则y=$\frac{1}{2}$y₁，
∴PB平分线段CD；
②解：由①切线PC的方程为$\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y$=1，令y=0，可得x=$\frac{4}{{x}_{1}}$，
∴△PBC面积=$\frac{1}{2}•$（$\frac{4}{{x}_{1}}$-2）•|$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$-y₁|=|$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4{y}_{1}}$|=|y₁|≤1
∴△PBC面积的最大值为1，此时C点坐标为（0，1）或（0，-1）．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．