Question

4．已知函数 f（x）=log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$的值域为[0，1]，求b和c的值．

Answer 1

分析 直接利用对数的性质转化为求解二次函数的问题．

解答 解析：因为f（x）的值域为[0，1]，即：0≤log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$≤1
所以：log₃1≤log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$≤log₃3．
∵底数3＞1，y=log₃x是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≥1}\\{\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c-1≥0}\\{{x}^{2}-bx+3-c≥0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}={b}^{2}-4（c-1）≥0}\\{{△}_{2}={b}^{2}-4（3-c）≥0}\end{array}\right.$
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=0}\\{{△}_{2}=0}\end{array}\right.$时，则有0≤log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$≤1取等号．
解方程组：可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故b和c的值为：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了对数函数的性质的运用，转化为二次方程成立的问题．属于中档题．