Question

2．如图，二面角α-l-β的大小为60°，A∈β，C∈α，且AB、CD都垂直于棱l，分别交棱l于B、D．已知BD=1，AB=2，CD=3，则AC=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据二面角的大小，利用向量的数量积的应用即可求AC的长度

解答 解：由题意知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，＜$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BA}$＞=60°，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$）²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BD}$′$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$，
∵BD=1，AB=2，CD=3，
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$
=4+9+1+2×3×2cos120°，
=14-6=8，
则|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
即AC=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，结合二面角的大小运用向量法是解决本题的关键．