Question

18．若复数z=x+yi（x，y∈R）满足|z|≤1，则|z-2i|的取值范围是[1，3]，|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 由z=x+yi（x，y∈R）满足|z|≤1，画出图形，数形结合得|z-2i|的取值范围；
由x²+y²≤1，可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=-3x-4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值．

解答 解：∵z=x+yi（x，y∈R）满足|z|≤1，
∴在复平面内z的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，
如图，

∴|z-2i|的取值范围是[1，3]；
由x²+y²≤1，
可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，
则|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，
令z=-3x-4y+10，得y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$，
如图，

要使z=-3x-4y+10最大，则直线y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$在y轴上的截距最小，
由z=-3x-4y+10，得3x+4y+z-10=0．
则$\frac{|z-10|}{5}=1$，即z=15或z=5．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：[1，3]；15．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．