Question

5．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．

	科目A	科目B	科目C
甲	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$

（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；
（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，
则P（$\overline{M}$）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
∴甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：
P（M）=1-P（$\overline{M}$）=1-$\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{3}{4}）$+$（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{3}{4}）$+（1-$\frac{2}{3}$）×$（1-\frac{1}{2}）×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{11}{24}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

EX=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．