Question

14．已知等差数列{a_n}中，首项为a₁（a₁≠0），公差为d，前n项和为S_n，且满足a₁S₅+15=0，则实数d的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列前n项和公式得$5{{a}_{1}}^{2}$+10a₁d+15=0，从而d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，由此利用均值定理能求出实数d的取值范围．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，首项为a₁（a₁≠0），公差为d，
前n项和为S_n，且满足a₁S₅+15=0，
∴${a}_{1}（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$+15=0，
∴$5{{a}_{1}}^{2}$+10a₁d+15=0，
∴d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，
当a₁＞0时，d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁≤-2$\sqrt{（-\frac{3}{2{a}_{1}}）（-\frac{1}{2}{a}_{1}）}$=-$\sqrt{3}$，
当a₁＜0时，d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁≥2$\sqrt{（-\frac{3}{2{a}_{1}}）（-\frac{1}{2}{a}_{1}）}$=$\sqrt{3}$，
∴实数d的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案为：（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和均值定理的合理运用．