Question

正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cosα+cos2β的值是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   -1
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，作出两个二面角的平面角，求解即可．
解答：解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图
过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，
在三角形SEO中，SE²=，OE=，所以cos²β=，cos2β=2cos²β-1=-1
过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=，由余弦定理可得cosα=，
所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故选C
点评：本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力．