Question

2．已知空间四面体ABCD中，AC=AD=BC=BD=2，且四面体ABCD的外接球的表面积为7π，如果AB=CD=a，则a=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以a，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而利用四面体ABCD的外接球的表面积为7π，求出a．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以a，2，2为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=a²，x²+z²=4，y²+z²=4，
设球半径为R，则有（2R）²=x²+y²+z²=$\frac{1}{2}$a²+4，
∵四面体ABCD的外接球的表面积为7π，
∴球的表面积为S=4πR²=7π．
∴4R²=7，
∴$\frac{1}{2}$a²+4=7，∴a=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．