Question

18．已知sinα-cosβ＜1，则（sinα-1）²+（cosβ+1）²的取值范围是（$\frac{1}{2}$，8]．

Answer 1

分析 利用换元法，将不等式进行转化，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设x=sinα，y=cosβ，则-1≤x≤1，-1≤y≤1，且x-y＜1，
则（sinα-1）²+（cosβ+1）²=（x-1）²+（y+1）²，
设z=（x-1）²+（y+1）²，
则z的几何意义是区域内的点到定点D（1，-1）的距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则由图象知A（-1，1）到D的距离的平方最大，此时z=（-1-1）²+（1+1）²=4+4=8，
点D到直线x-y=1的距离最小，
即d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时z=d²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜z≤8，
即（sinα-1）²+（cosβ+1）²的取值范围是（$\frac{1}{2}$，8]，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，8]．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用换元法转化为线性规划是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．