题目内容
7．现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．（1）求这4个人恰好有1个人去A地的概率；
（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
分析 （1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为$\frac{1}{3}$，去B地旅游的概率为$\frac{2}{3}$，设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），P（Ai）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，由此能求出这4个人恰好有1个人去A地的概率．
（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
解答 解：（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为$\frac{1}{3}$，去B地旅游的概率为$\frac{2}{3}$，
设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），
∴P（Ai）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，
∴这4个人恰好有1个人去A地的概率：
P（A1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）^{1}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{32}{81}$．
（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，
P（ξ=0）=P（A0）+P（A4）=$（\frac{2}{3}）^{4}+（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（ξ=3）=P（A1）+P（A3）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$═$\frac{24}{81}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 3 | 4 |
| P | $\frac{17}{81}$ | $\frac{40}{81}$ | $\frac{24}{81}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
