Question

18．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$
• C． $（{1，\frac{5}{4}}）$
• D． $（{\frac{5}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由于双曲线的一条渐近线方程为：y=$\frac{b}{a}$x，及点（2，1）在“右”区域内，得出 $\frac{b}{a}$＞$\frac{1}{2}$，从而得出双曲线离心率e的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程为：y=$\frac{b}{a}$x，
∵点（2，1）在“右”区域内，
∴$\frac{b}{a}$×2＞1，即$\frac{b}{a}$$＞\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
又e＞1，
则双曲线离心率e的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故选：B．

点评 本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式（组）与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．