Question

19．已知一块四边形园地ABCD中，∠A=45°，∠B=60°，∠C=105°，若AB=2m，BC=1m，则该四边形园地ABCD的面积等于$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²．

Answer 1

分析 连接AC，在△ABC中利用余弦定理解出AC，利用正弦定理解出∠BAC和∠ACB，得出∠DAC和∠ACD，在△ACD中利用正弦定理解出AD，CD，代入三角形面积公式求出两个三角形的面积．

解答 解：连接AC，在△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{4+1-2}$=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{sin∠ACB}=\frac{1}{sin∠BAC}$，
∴sin∠ACB=1，sin∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠DAC=15°，∠ACD=15°，∠D=150°．∴AD=CD．
在△ACD中，∵$\frac{AC}{sinD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{AD}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$，
解得AD=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×2×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•CD•sinD$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}×\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}×sin150°$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了解三角形的应用，合理构造三角形是关键．