Question

已知圆，直线。

（Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点.

（Ⅱ）设与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）.

【解析】本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。

解：

（1）

解法一：

圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离…………3分

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；……………………6分

 

解法二：

由方程可得：m(x-1)-y+1=0,令x=1,则y=1

∴对于恒过定点P(1,1),又1²+(1-1)²<5     ………………………3分

∴P点在圆C内部

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； ……………………6分

（2）由（1）得过定点P(1,1)

当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴  （或者k_CM.k_MP=-1）………………………………………9分

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是 ……………………12分