Question

10．如图，已知半径不等的两圆均与直线AG相切于点A，大圆的弦BC与小圆相切于点D，
弦AB、AC分别与小圆相交于点E，F．
（1）求证：AD为∠BAC的平分线；
（2）求证：BD•CF=CD•BE．

Answer 1

分析 （1）AG为大圆的切线，可知∠DAG=∠BDA，∠DAG-∠BAG=∠BDA-∠ACB，根据三角形外角和定理可知∠BDA-∠ACB=∠CAD，可知∠BAD=∠CAD，即可证明AD为∠BAC的平分线；
（2）由AG为两圆的切线，可知∠BAG=∠AFE，EF∥BC，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CF}$，根据割线定理$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，即可证明BD•CF=CD•BE．

解答 解：（1）∵AG为大圆的切线，
由弦切角定理可知：∠DAG=∠BDA，
∴∠DAG-∠BAG=∠BDA-∠ACB，
由三角形外角和定理可知：∠BDA-∠ACB=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
即AD为∠BAC的角平分线；
（2）由AG为两圆的切线，
根据弦切角定理，∠BAG=∠AFE，
∴EF∥BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CF}$，
根据割线定理$\frac{B{D}^{2}}{C{D}^{2}}$=$\frac{BE•BA}{CF•CA}$=$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，
∴BD•CF=CD•BE．

点评 本题考查直线与圆的关系，考查弦切角定理，切割定理及两直线平行的性质，考查数形结合思想，属于中档题．