Question

19．已知A，B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，2，2，3，3，4．现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量，设选取的三条网线由A到B可通过的最大信息总量为ξ．
（1）当ξ≥7时，则保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；
（2）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）从6条网线中随机取三网线，共有${C}_{6}^{3}$种情况，线路信息畅通的概率P（ξ≥7）=P（ξ=7）+P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出结果．
（2）由题意ξ的可能可值为5，6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）从6条网线中随机取三网线，共有${C}_{6}^{3}=20$种情况，
如图，∵1+2+4=2+2+3=1+3+3=7，
∴P（ξ=7）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵1+3+4=2+2+4=2+3+3=8，
∴P（ξ=8）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵2+3+4=9，
∴P（ξ=9）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
∵3+3+4=10，
∴P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
线路信息畅通的概率：
P（ξ≥7）=P（ξ=7）+P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=$\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{5}{20}+\frac{1}{20}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由题意ξ的可能可值为5，6，7，8，9，10，
∵1+2+2=5，
∴P（ξ=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∵1+2+3=6，
∴P（ξ=6）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
P（ξ=7）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵1+3+4=2+2+4=2+3+3=8，
∴P（ξ=8）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵2+3+4=9，
∴P（ξ=9）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
∵3+3+4=10，
∴P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{5}{20}$	$\frac{5}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴Eξ=$5×\frac{1}{20}+6×\frac{4}{20}+7×\frac{5}{20}+8×\frac{5}{20}+9×\frac{4}{20}$+10×$\frac{1}{20}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，考查数据处理、运算求解能力和数学应用意识．