Question

14．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=$\frac{a}{2}$，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}-1}}{4}$
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{{b}^{2}}=1$，从而c²=$\frac{5{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}}{4{b}^{2}}$，由此能求出此椭圆的离心率．

解答 解：∵F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
以F₁F₂为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{{b}^{2}}=1$，解得x²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}}{4{b}^{2}}$，
∴c²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}}{4{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4{b}^{2}}$=$\frac{5{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}}{4{b}^{2}}$，
∴4c²（a²-c²）=5a²（a²-c²）-a⁴，
∴4a²c²-4c⁴=4a⁴-5a²c²，
∴4e²-4e⁴=4-5e²，
∴4e⁴-9e²+4=0，
∵0＜e＜1，∴${e}^{2}=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$，
∴e=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．