Question

12．已知倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则P=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），直线PQ的方程为y=-$\sqrt{3}$（x-5），由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{0}}^{2}=2p{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-\sqrt{3}（{x}_{0}-5）}\end{array}\right.$，结合抛物线的定义，即可得出结论．

解答 解：由题意，F（$\frac{p}{2}$，0），设P（x₀，y₀），
直线PQ的方程为y=-$\sqrt{3}$（x-5），∴$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{0}}^{2}=2p{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-\sqrt{3}（{x}_{0}-5）}\end{array}\right.$，
∴3$（{x}_{0}-5）^{2}$=2px₀，
又${x}_{0}+\frac{p}{2}$=5-$\frac{p}{2}$，
联立解得x₀=3，p=2，
故选C．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系的运用，属于中档题．