Question

10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E是棱DD₁的中点
（1）求三棱锥E-A₁B₁B的体积；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）代入棱锥的体积公式计算；
（2）取C₁D₁中点F，连B₁F，EF，C₁D，连B₁A交A₁B于O，则可证四边形B₁OEF为平行四边形，得出BF∥OE，从而得出B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：（1）${V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}h=\frac{a^3}{6}$．
（2）存在．
取C₁D₁中点F，连B₁F，EF，C₁D，连B₁A交A₁B于O，
∵EF是△D₁C₁D的中位线∴$EF∥CD，EH=\frac{1}{2}{C_1}D$，
因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
所以${B_1}O=\frac{1}{2}{B_1}A$
又因为四边形B₁ADC₁是平行四边形，
所以B₁A∥C₁D，B₁A=C₁D
所以B₁O∥EF，B₁O=EF，
所以四边形B₁OEF是平行四边形，
所以B₁F∥OE，
所以B₁F∥平面A₁BE．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．