Question

10．已知（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中，第三项的系数为144．
（Ⅰ）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求该展开式的所有有理项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，利用二项式的通项公式可求得n的值；
（Ⅱ）只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z，r=0，3，6，9，从而可求得展开式中的有理项．

解答 解：（Ⅰ）（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式的通项为T_r+1=C_n^r（-2）^r${x}^{\frac{n-4r}{3}}$，（0≤r≤n，且r∈N）．
由题意可知：第三项的系数为C_n²（-2）²=144，
即n（n-1）=72，解得n=9．
∴该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为2⁸=256．
（Ⅱ）∵（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）⁹的展开式的通项为T_r+1=C₉^r（-2）^r${x}^{\frac{9-4r}{3}}$，（0≤r≤9，且r∈N）．
要求该展开式中的有理项，只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z，
∴r=0，3，6，9，
∴展开式中的有理项为：T₁=C₉⁰（-2）⁰x³=x³；T₄=C₉³（-2）³x^-1=-672x^-1；
T₇=C₉⁶（-2）⁶x^-5=-5376x^-5；T₁₀=C₉⁹（-2）⁹x^-9=-512x^-9．

点评 本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式的通项公式及其应用，考查运算能力，属于中档题．