Question

3．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：AC•CP=2AP•BD；
（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且$PC=\sqrt{21}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；
（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC²，求出x，利用（1）即可求解AC的长．

解答 （1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，
又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AP}{PC}$，即AP•BC=AC•CP．
又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（5分）
（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，
由切割定理可得PA•PB=PC²，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，
由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴$3×5=\sqrt{21}AC$，∴$AC=\frac{{5\sqrt{21}}}{7}$…（10分）

点评 本题考查三角形相似，等差数列的性质的应用，切割线定理的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．