Question

14．已知点P（x，y）在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上运动，设$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$，则d的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}-2$
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{6}-1$

Answer 1

分析 由设P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），则设$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α+4\sqrt{3}sinα+4}$-cosα=$\sqrt{20-（sinα-2\sqrt{3}）^{2}}$-cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，
设P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），则设$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α+4\sqrt{3}sinα+4}$-cosα，
=$\sqrt{20-（sinα-2\sqrt{3}）^{2}}$-cosα，
当sinα=0，cosα=1时，
d的最小值为$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$=$\sqrt{20-12}$-1=2$\sqrt{2}$-1，
d的最小值2$\sqrt{2}$-1，
故选B．

点评 本题考查椭圆的参数方程，同角三角形函数的基本关系，考查三角函数的最值，考查计算能力，属于中档题．