Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c
（1）若满足a=3，A=45°的△ABC有两个，求b的范围；
（2）若a=4，b+c=5，中线AD=y，AB=x，且y与x有函数关系y=f（x）求f（x）表达式（写明定义域）．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：$\frac{3}{sin4{5}^{°}}$=$\frac{b}{sinB}$，且∠B有两解，可得b＞3，且sinB=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}b}{3}$＜1，解出即可得出．
（2）由题意可得：BD=DC=2，在△ABD中，由余弦定理可得：x²=4+AD²-2×2×ADcos∠ADB．在△ADC中，由余弦定理可得：（5-x）²=4+AD²-2×2×ADcos∠ADC．相加化简即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{3}{sin4{5}^{°}}$=$\frac{b}{sinB}$，且∠B有两解，
∴b＞3，且sinB=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}b}{3}$＜1，解得$3＜b＜3\sqrt{2}$，
∴b的取值范围是$（3，3\sqrt{2}）$．
（2）由题意可得：BD=DC=2，
在△ABD中，由余弦定理可得：x²=4+AD²-2×2×ADcos∠ADB，
在△ADC中，由余弦定理可得：（5-x）²=4+AD²-2×2×ADcos∠ADC．
相加可得：x²+（5-x）²=8+2AD²，即2x²-10x+17=2AD²，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}-5x+\frac{17}{2}}$，x∈$（\frac{1}{2}，\frac{9}{2}）$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．