Question

6．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+1|，g（x）=2-|x-1|．
（I）解不等式：|g（x）|＜1；
（Ⅱ）若存在x₁∈R，x₂∈R，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件得到||x-1|-2|＜1，通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．
（Ⅱ）已知条件转化为：只需要g（x）_max≥f（x）_min，求出f（x））的最小值，g（x）的最大值，即可求解实数a的取值范围．

解答 解：（I）由|g（x）|＜1得：||x-1|-2|＜1，
∴-1＜|x-1|-2＜1，即1＜|x-1|＜3，
由1＜|x-1|解得：x＞2或x＜0；由|x-1|＜3解得：-2＜x＜4；
∴原不等式的解为（-2，0）∪（2，4）．…（5分）
（Ⅱ）因为?x₁∈R，x₂∈R，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需要g（x）_max≥f（x）_min
∵f（x）=|2x-a|+|2x+1|≥|（2x-a）-（2x+1）|=|a+1|，g（x）=2-|x-1|≤2，
∴|a+1|≤2，解得-3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a|-3≤a≤1}．…（10分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法恒成立问题以及绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．