Question

12．已知等比数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^n}-a$，则$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=（　　）

• A． （2n-1）²
• B． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• C． 4ⁿ-1
• D． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$

Answer 1

分析 利用递推关系与等比数列的定义可得a，a_n，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-a$，∴a₁=2-a，a₁+a₂=4-a，a₁+a₂+a₃=8-a，
解得a₁=2-a，a₂=2，a₃=4，
∵数列{a_n}是等比数列，∴2²=4（2-a），解得a=1．
∴公比q=2，a_n=2^n-1，${a}_{n}^{2}$=2^2n-2=4^n-1．
则$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．