Question

已知函数

（I）求曲线在处的切线方程。

（II）设如果过点可作曲线的三条切线，证明：

 

Answer 1

【答案】

（I） 

（II）通过研究函数的极大值和极小值分别为和，由的单调性可知，

当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当极大值或极小值时，方程只有两个相异的实数根；

从而，且方程才有三个相异的实数根．即可得证

【解析】

试题分析：（I）求函数的导数：．

曲线在点处的切线方程为 

（II）如果有一切线过点，则存在使得于是，若过点可作曲线的三条切线，则转化为方程有三个相异的实数根。

记，则 

时，则在此区间单调递增；

时，则在此区间单调递减；

时，则在此区间单调递增；

可求得函数的极大值和极小值分别为和。

由的单调性可知，

当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当极大值或极小值时，方程只有两个相异的实数根；

依题意：且方程才有三个相异的实数根．

即可得证

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，方程根的讨论。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过求确定处导函数值，得到切线的斜率，进一步可求切线方程。讨论方程的根，可通过讨论函数的单调性及极值情况，认识切线特征，得到解题目的。