Question

13．若α∈（0，$\frac{π}{2}$），若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，则sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值为（　　）

• A． $\frac{{12\sqrt{3}-7}}{25}$
• B． $\frac{{7\sqrt{3}-24}}{50}$
• C． $\frac{{24\sqrt{3}-7}}{50}$
• D． $\frac{{12\sqrt{3}+7}}{25}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和差的三角公式求得sinα、cosα的值，从而利用二倍角公式、两角和差的三角公式求得$sin（2α+\frac{π}{6}）$的值．

解答 解：若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，$cos（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，
∴α+$\frac{π}{6}$还是锐角，故sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{57+24\sqrt{3}}}{10}$ 
则$sin（2α+\frac{π}{6}）$=sin2αcos$\frac{π}{6}$+cos2αsin$\frac{π}{6}$=2sinαcosαcos$\frac{π}{6}$+（cos²α-sin²α）sin$\frac{π}{6}$
=2•$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$•$\frac{\sqrt{57+24\sqrt{3}}}{10}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+[$\frac{57+24\sqrt{3}}{100}$-$\frac{{（3\sqrt{3}-4）}^{2}}{100}$]•$\frac{1}{2}$=$\frac{24\sqrt{3}-7}{50}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．