Question

14．如图所示，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，与抛物线C的方程联立，化简得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明$\overrightarrow{FT}$•$\overrightarrow{FN}$=-p²m²+p²m²=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．

解答 （Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，
与抛物线C的方程联立，化简得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理可知，x₁+x₂=3p，
∴|PQ|=x₁+x₂+p=4p=4，p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x．…（5分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，
与抛物线C的方程联立，化简得y²-2pmy-p²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理可知，y₁+y₂=2pm，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2pm²+p，
∴点N的坐标为（pm²+$\frac{p}{2}$，pm），
∴点T的坐标为（-$\frac{p}{2}$，pm），
∴$\overrightarrow{FT}$=（-p，pm），$\overrightarrow{FN}$=（pm²，pm），
∴$\overrightarrow{FT}$•$\overrightarrow{FN}$=-p²m²+p²m²=0，
∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．