Question

如图，⊙O的半径OC垂直于直径DB，F为BO上一点，CF的延长线交⊙O于点E，过E点的切线交DB的延长线于点A
（1）求证：AF²=AB•AD；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OB=

3

OF，求FE的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出；
（2）求出CF，利用CF•FE=DF•FB，求FE．

解答： （1）证明：连接OE，
∵AE切⊙O于点E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∵OC⊥DB于点O，∴∠OCE+∠CFO=90°．
故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，
又∵AE切⊙O于点E，∴AE²=AB•AD，
∴AF²=AB•AD；
（2）解：∵OB=2

3

，OB=

3

OF，
∴OF=2，
∵OC=2

3

，
∴CF=

OF2+OC2

=4，
∵CF•FE=DF•FB=（2

3

+2）（2

3

-2）=8，
∴FE=

8

CF

=2．

点评：熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键．