Question

9．下列命题：
①y=sin（$\frac{π}{2}$+x）是偶函数；
②若α，β是第一象限角，且α＜β，则tanα＜tanβ；
③y=tan（x+$\frac{π}{4}$）图象的一个对称中心是（$\frac{π}{4}$，0）；
④cos1＜sin1＜tan1．
其中所有正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据三角函数的诱导公式得到y=cosx，再由余弦函数的性质可判断①，举例子可判断②，利用正切函数的图象的对称中心求得函数y=tan（x+$\frac{π}{4}$）的图象的对称中心的坐标可判断③，由三角函数的单调性可得tan1＞1，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin1＜1，cos1＜\frac{\sqrt{2}}{2}$判断④．

解答 解：对于①：∵y=sin（$\frac{π}{2}$+x）=cosx，∴原函数是偶函数，故①正确；
对于②：当$α=\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{4}+2π$时，满足α＜β，则tanα=tanβ，故②不正确；
对于③：y=tan（x+$\frac{π}{4}$），令x+$\frac{π}{4}$=$\frac{kπ}{2}$，则x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}$，k∈Z，可得y=tan（x+$\frac{π}{4}$）的图象的对称中心的坐标是（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}$，0），k∈Z，
取k=1时，对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），故③正确；
对于④：由于tan1＞tan$\frac{π}{4}$=1，sin1＞sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sin1＜1，cos1＜cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴cos1＜sin1＜tan1，故④正确．
故所有正确命题的序号是：①③④．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，是中档题．