Question

13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），?x∈（0，+∞），f（f（x）-x²）=2，则不等式f（x）＞7x-11的解集为（0，3）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，f（x）-x²为定值，求出函数的解析式，再解不等式f（x）＞7x-11．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-x²）]=2，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-x²为定值，
设t=f（x）-x²，则f（x）=t+x²，
又由f（t）=2，可得t+t²=2，
可解得t=1，故f（x）=1+x²，
∴不等式f（x）＞7x-11可化为1+x²＞7x-11，
∴x²-7x+12＞0，
∴x＜3或x＞4，
∵x＞0，
∴0x＜3或x＞4，即不等式f（x）＞7x-11的解集为（0，3）∪（4，+∞）．
故答案为（0，3）∪（4，+∞）．

点评 本题考查解不等式，考查函数的单调性，确定f（x）-x²为定值，求出函数的解析式是关键．