Question

17．若函数f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（0，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数与方程之间的关系转化为f（x）=m-4^x-3×2^x+1-2=0，有根，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质进行转化进行求解即可．

解答 解：若f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2的图象与x轴有交点，
即f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2=0，有根，
即m•4^x=3×2^x+1+2，
则m=$\frac{6•{2}^{x}+2}{{4}^{x}}$=$\frac{6}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{（{2}^{x}）^{2}}$，
设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则t＞0，
则函数等价为m=6t+2t²=2（t²+3t）=2（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{2}$，
∵t＞0，
∴y=6t+2t²=2（t²+3t）=2（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{2}$＞0，
即m＞0，
故答案为：（0，+∞）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法和转化法结合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．