Question

12．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为$（1，\frac{π}{4}）$，半径r=1，点P在圆C上运动．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出．
（II）在直角坐标系中，圆心$C（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得圆C的方程，设Q（x，y），则P（2x，2y），代入圆的方程即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设点P的极坐标为（ρ，θ），
由余弦定理得${1^2}={ρ^2}+{1^2}-2ρcos（θ-\frac{π}{4}）$，
即${ρ^2}=2ρcos（θ-\frac{π}{4}）$，∴圆C的极坐标方程为$ρ=2cos（θ-\frac{π}{4}）$．
（Ⅱ）在直角坐标系中，圆心$C（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
圆C的方程为${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$．
设Q（x，y），则P（2x，2y），
由点P在圆C上得${（2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（2y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$，即${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}=\frac{1}{4}$，
故点Q轨迹的直角坐标方程为${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）^2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．