Question

已知函数f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求w的取值范围
（2）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}；B={x||f(x)-m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x，然后利用[-

π

2

，

2π

3

]是函数增区间的子集，解答即可．
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范围表达式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．

解答：解：（1）f(x)=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x=2sinx+1
∵f（ωx）=2sinωx+1在[-

π

2

，

2

3

π]上是增函数．
∴[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，
即

2π

3

≤

π

2ω

，∴ω∈(0，

3

4

]
（2）由|f（x）-m|＜2得：-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2
∵A⊆B，∴当

π

6

≤X≤

2

3

π时，f（x）-2＜x＜f（x）+2恒成立．
∴[f（x）-2]_max＜m＜[f（x）+2]_min
又x∈[

π

6

，

2π

3

]时，f(x)max=f(

π

2

)=3；f(x)min=f(

π

6

)=2
∴m∈（1，4）

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题．