Question

△ABC的三个内角为A、B、C，当A为

 

°时，cosA+2cos

B+C

2

取得最大值，且这个最大值为

 

．

Answer 1

分析：由A+B+C=180°得

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，然后把已知条件分别利用二倍角的余弦函数公式和诱导公式化为关于sin

A

2

的二次三项式，然后配方求出这个式子的最大值及取最大值时sin

A

2

的值，利用特殊角的三角函数值即可求出此时的A的值．

解答：解：因为A+B+C=180°，则cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin2

A

2

+2cos（

π

2

-

A

2

）=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

) 2+

3

2

，
所以当sin

A

2

=

1

2

，因为

A

2

为锐角，所以

A

2

=30°
即A=60°时，原式的最大值为

3

2

．
故答案为：60，

3

2

点评：此题是一道三角函数与二次函数综合在一起的题，要求学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简求值，要牢记特殊角的三角函数值，做题时注意角度的范围．