Question

17．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．
（I）重心G的坐标为$（1，\frac{3}{2}，1）$；
（II）若△BCD的重心为M，则$\frac{|\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{GM|}}$=3．

Answer 1

分析 （I）利用重心的坐标计算公式即可得出．
（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得 $\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{GM}$，再利用模的计算公式即可得出．

解答 解：（I）x_G=$\frac{0+2+0+2}{4}$=1，y_G=$\frac{0+0+3+3}{4}$=$\frac{3}{2}$，z_G=$\frac{2+0+0+2}{4}$=1，
∴重心G的坐标为$（1，\frac{3}{2}，1）$．
（II）M$（\frac{2+0+2}{3}，\frac{0+3+3}{3}，\frac{0+0+2}{3}）$，即M$（\frac{4}{3}，2，\frac{2}{3}）$．
$\overrightarrow{AG}$=$（1，\frac{3}{2}，-1）$，$\overrightarrow{GM}$=$（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{GM|}}$=$\frac{\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}+1}}{\sqrt{（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{3}）^{2}}}$=3．
故答案分别为：$（1，\frac{3}{2}，1）$；3．

点评 本题考查了重心的坐标计算公式、模的计算公式、向量坐标运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．