Question

1．若命题p：“?x∈[-1，1]，ax³-3x+1≥0”为真命题，则实数a的值=4．

Answer 1

分析 设f（x）=ax³-3x+1，可得f′（x）=3ax²-3，讨论a的取值范围，利用分类讨论，求出a的取值范围即可．

解答 解：设f（x）=ax³-3x+1，
可得f′（x）=3ax²-3，
（1）当a≤0时，3ax²-3＜0，
函数f（x）是减函数，
f（x）_min=f（1）=a-2≥0，
解得a≥2，与已知矛盾；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，可得x=±$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
①当x＜-$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当-$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f（x）为递增函数；
所以f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）≥0，f（-1）≥0，
由f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，解得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上，可得a=4．
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．