Question

1．已知函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$（1-2sin²x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的余弦与“辅助角”公式可化简f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），再由不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）即可求得f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]⇒（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{2π}{3}$]⇒2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，2]，可得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$（1-2sin²x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得：kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$（k∈Z），
故f（x）的单调减区间为：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{2π}{3}$]，2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，2]，
所以，f（x）的值域为[0，2]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的单调性与最值，熟练掌握三角函数的图象与性质是快准确地解决问题的关键，属于中档题．