Question

12．已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB；
（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设AB=a，取AC的中点O，连接EO，OP，以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DP∥平面EAB．
（2）求出平面EBD的法向量和平面ACDE的一个法向量，由此利用向量法能求出平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．

解答 证明：（1）设AB=a，取AC的中点O，连接EO，OP．
∵AE=AC，又∠EAC=60°，∴EO⊥AC．
又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，
又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC．
以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则C（0，$\frac{a}{2}$，0），A（0，-$\frac{a}{2}$，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），D（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），B（a，-$\frac{a}{2}$，0）．
则P（$\frac{a}{2}$，0，0），
设平面EAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀），$\overrightarrow{AB}$=（a，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{n}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}y0+\frac{\sqrt{3}}{2}az0=0\\ x0•a=0\end{array}$，令z₀=1，得y₀=-$\sqrt{3}$，又x₀=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{3}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1）•（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）=0，
∴DP∥平面EAB．…（6分）
解：（2）设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
平面ACDE的一个法向量为$\overrightarrow{p}$=（1，0，0）．
$\overrightarrow{EB}$=（a，-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），$\overrightarrow{ED}$=（0，$\frac{a}{2}$，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ax1-\frac{a}{2}y1-\frac{\sqrt{3}}{2}az1=0\\ \frac{a}{2}y1=0\end{array}$
令z₁=1，则x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y₁=0，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1）．
∴cos θ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的锐二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．