Question

9．已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，2），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[一1.1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点的坐标代入函数解析式得到一个方程；利用函数满足的等式得到函数的对称轴，据二次函数的对称轴公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相关点法求出g（x）的解析式．
（2）利用函数在区间上是增函数，分类讨论即可求出参数的取值范围．

解答 解：（1）由题意知：1+m+n=2，对称轴为x=-1故-$\frac{m}{2}$=-1
解得m=2，n=-1，
∴f（x）=x²+2x-1，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则x₀=-x，y₀=-y，因为点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x-1，
∴y=-x²+2x+1，
∴g（x）=-x²+2x+1．
（2）F（x）=-x²+2x+1-λ（x²+2x-1）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1+λ在[-1，1]上是增函数，
当1+λ=0时，即λ=-1时，F（x）=4x符合题意，
当$\left\{\begin{array}{l}{1+λ＞0}\\{\frac{1-λ}{1+λ}≥1}\end{array}\right.$，解得-1＜λ≤0，
当$\left\{\begin{array}{l}{1+λ＜0}\\{\frac{1-λ}{1+λ}≤-1}\end{array}\right.$，解得λ＜-1
所求λ的取值范围是（-∞，0]，

点评 本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．