Question

3．已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
（1）当a=1时，判断集合B⊆A是否成立？
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|-1＜x+1≤4}，根据集合包含关系的定义，可得结论；
（2）根据集合包含关系的定义，对a进行分类讨论，最后综合，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|-1＜x+1≤4}，B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
∴B⊆A成立；
（2）当a=0时，A=R，A⊆B不成立；
当a＜0时，A={x|0＜ax+1≤5}={x|$\frac{4}{a}$≤x＜$\frac{-1}{a}$}，
若A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}\\ \frac{-1}{a}≤2\\ a＜0\end{array}\right.$，解得：a＜-8；
当a＞0时，A={x|0＜ax+1≤5}={x|$\frac{-1}{a}$＜x≤$\frac{4}{a}$}，
若A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}≤2\\ \frac{-1}{a}≥-\frac{1}{2}\\ a＞0\end{array}\right.$，解得：a≥2；
综上可得：a＜-8，或a≥2

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，难度中档．