Question

曲线y=x

1

2

在点P（x₀，y₀）（0≤x₀≤1）处的切线与x=0，x=1及x轴围成图形的面积的最小值为（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  2

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：由导数求出点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l的方程，求出直线与x=0，x=1及x轴的交点坐标，将面积S表示出的函数，再利用函数的单调性研究它的最值．

解答：解：因为y=x

1

2

，
∴y′=

1

2

x-

1

2

．
所以曲线y=x

1

2

在点P处切线为l：y-x0

1

2

=

1

2

x0-

1

2

(x-x0)．…（6分）
切线l与x=1的交点为（1，

1

2

x0-

1

2

+

1

2

 x0

1

2

），
与y轴的交点为(0，x0-

1

2

-

1

2

 x0

1

2

)，…（8分）
因为0≤x₀≤1，
所以S=

1

2

(

1

2

x0-

1

2

+

1

2

 x0

1

2

+x0-

1

2

-

1

2

 x0

1

2

)×1
=

3

4

x

- 1 2 0

，
∵在区间0，1]上，函数S（x₀）单调递递减．…（10分）
所以，当x₀=1时，S有最小值，此时S=

3

4

，
所以，S的最小值为

3

4

．…（12分）
故选D．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．