Question

14．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且$a=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{2}$，$A=\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；
（Ⅱ）已知函数f（x）=sinBsinπx-cosBcosπx，把函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{1}{2}$个单位得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）（x∈[0，2]）上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和大边对大角可得C，进而可得B，由三角形的面积公式可得；
（Ⅱ）由和差角的三角函数公式和函数图象变换可得g（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$），解2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数y=g（x）的单调递增区间和[0，2]取交集可得．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中$a=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{2}$，$A=\frac{2π}{3}$，
∴由正弦定理可得sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
由大边对大角可得C＜A，故C=$\frac{π}{6}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sinBsinπx-cosBcosπx
=-cos（πx+B）=-cos（πx+$\frac{π}{6}$），
∵把函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{1}{2}$个单位得函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=-cos（πx+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（πx+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得2k-$\frac{2}{3}$≤x≤2k+$\frac{1}{3}$，k∈Z，
∴函数y=g（x）的单调递增区间为[2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{1}{3}$]，k∈Z．
和x∈[0，2]取交集可得函数的递增区间为[0，$\frac{1}{3}$]和[$\frac{4}{3}$，2]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及正余弦定理解三角形以及函数图象变换和三角函数的单调性，属中档题．