题目内容
13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，（x＜1）}\\{{x}^{3}-9{x}^{2}+24x-16，（x≥1）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=a（a为实数）根个数不可能为（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
分析 判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，作出y=f（x）的函数图象，根据函数图象得出方程f（x）=a的解的情况．
解答 解：当x＜1时，f（x）为增函数，且f（0）=0；
当x≥1时，f′（x）=3x2-18x+24，
令f′（x）=3x2-18x+24=0，得x=2或x=4．
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0，
∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=4，当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=0，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知：当a≤-1时，方程f（x）=a无解，
当-1＜a＜0或a＞4时，方程f（x）=a有1个解，
当a=0或e-1≤a＜4时，方程f（x）=a有3个解，
当a=4时，方程f（x）=a有2个解，
当0＜a＜e-1时，方程f（x）=a有4个解．
故选D．
点评 本题考查了函数单调性的判断，函数零点的个数与函数图象的关系，属于中档题．
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水是地球上宝贵的资源，由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．