Question

设f（x）＝x²＋px＋q，A＝{x｜x＝f（x）}，B＝{x｜x＝f[f（x）]}.

(1)求证：AB.

(2)如果A＝{－1，3}，求B.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A. ∵A＝{x｜x＝f（x）}  ∴x0＝f（x0） 则有f[f（x0）]＝f（x0）＝x0. ∴x0∈B，故AB成立. (2)∵A＝{－1，3}＝{x｜x2＋px＋q＝x}. ∴方程x2＋（p－1）x＋q＝0有两根－1和3. ∴由韦达定理得： ∴f（x）＝x2－x－3. 因B的元素是方程f[f（x）]＝x的解. 即（x2－x－3）2－（x2－x－3）－3＝x的根. 由方程变形得： （x2－x－3）2－x2＝0. ∴（x2－2x－3）（x2－3）＝0. ∴x＝－1或x＝3或x＝±. 故B＝{－，－1，，3}