Question

18．已知F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6$\sqrt{6}$）是y轴上一点，则△APF周长的最小值为34．

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a=2，b=2$\sqrt{5}$，c=3，
即有F（3，0），F'（-3，0），|AF|=|AF'|=$\sqrt{9+216}$=15，
△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=4，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+4，
当P在左支上运动到A，P，F'共线时，
|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=15，
则有△APF周长的最小值为15+15+4=34．
故答案为：34

点评 本题考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，考查运算能力，属于中档题．