Question

如图，四边形是矩形，平面，四边形是梯形,，， 点是的中点，.

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）见解析 （2）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面平行关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明：连结，交于点，∴点是的中点.

∵点是的中点，∴是△的中位线. ∴

∵平面，平面，∴平面

（2）四边形 是梯形，，

又四边形是矩形，，

又，

又，，

在△中，，

由可求得… 7分

以为原点，以、、分别为、、

轴建立空间直角坐标系，

∴，，，，

∴，，.

设平面的法向量，

∴，.∴

令，则，.∴.

又是平面的法向量，

∴ 如图所示，二面角为锐角.

∴二面角的余弦值是

考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.