Question

6．已知点P是椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，若∠F₁PF₂=60°，且△PF₁F₂的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，则椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，可得|PF₁|•|PF₂|．再根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，利用余弦定理得到a，c的关系，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴|PF₁|•|PF₂|=a²．
再根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
再利用余弦定理可得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|•cos60°=（|PF₁|+|PF₂|）²-3PF₁•PF₂=4a²-3a²，
求得a=2c，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．